管樂指法推算

徹拉修Tetratio

16 min readSep 1, 2021

本篇文章的推算與部分假設建立在個人經驗上，物理與數學的理論基礎可能不足。另外，一般定義上，第 n諧音 = 第 n-1泛音 = 頻率 n倍的泛音，為避免誤會，統稱為泛音列第 n個音。

一、泛音與自然號

泛音為基音的整數倍頻率 (線性關係)，以基音為100Hz為例，則泛音列為100Hz、200Hz、300Hz、400Hz、...

但人耳聽到的頻率變化是指數關係，以頻率兩倍為一個八度，如100Hz、200Hz、400Hz、800Hz、…

因此若要將泛音換算成人耳實際聽到的音高 (十二平均律)，就要對泛音取對數，底數為2的1/12次方：

n=0 到 n=20 算出來的結果分別為：0、12、19.02、24、27.86、31.02、33.69、36、38.04、39.86、41.51、43.02、44.41、45.69、46.88、48、49.05、50.04、50.98、51.86

這個數列代表泛音列每個音分別比基音高幾個半音。也就是設定泛音列中第一個音為基音=0，第二個音比基音高12個半音，第三個音比基音高19.02個半音，以此類推。

取前面幾個接近整數的項，經四捨五入得到：0、12、19、24、28、31、34、36、38、40。

假設基音為C，則這些音分別代表：C、C、G、C、E、G、Bb、C、D、E

只要是可以製造泛音的"樂器"，就可以演奏上述這些音。然而像這樣完全沒有指法的樂器相當少，例子有自然號和阿爾卑斯長號等等。至於其他樂器用最低音指法的完整空氣柱，通常也能吹出前四個音或更多。

二、空氣柱與銅管樂器

要發出不同的音高，最簡單的方法是改變空氣柱的長度，即為改變基音的音高。

因為一個基音就能發出泛音列中的任何音，因此不需要為了音域中每個音改變基音，只要確保音域內每個音被包含在某個基音的泛音列中即可。

在泛音列 C、C、G、C、E、G、Bb、C、D、E 中，如果將基音提升半音，則新的泛音列為 C#、C#、G#、C#、F、G#、B、C#、D#、F。

將上述兩個泛音列數值化，即為 0, 12, 19, 24, 28, 31, 34, 36, 38, 40，與 1, 13, 20, 25, 29, 32, 35, 37, 39, 41。為了方便敘述，接下來皆以數值化後的泛音列呈現。

重複增加不同的基音，直到其泛音列包含了目標音域中的所有音。對十二平均律樂器來說，目標音域中的12個半音，會形成連續的整數數列。上述例子中，兩個數列雖然包含了 {34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41} 的連續數列，但是數字在36左右。這代表如果只用兩個相隔一個半音的基音，雖然吹得出半音音階，但是這個音階比最低音高了三個八度左右，作為一個樂器，這是不合理的。

若要完整使用音域，則需要12個不同的基音，分別為0~11，這樣可以填補泛音列前兩項 (0與12) 之間的縫隙。而次之的選擇則是使用7個不同的基音，分別為0~6，可以填補泛音列第二、三項 (12與19) 之間的縫隙，但是第一個八度則會出現空隙。

以樂器設計而言，在管子上開孔可以減少空氣柱長度，即為提升基音的音高。而用活塞讓空氣可以進入一條新的通道則可以增加空氣柱長度，即為降低基音的音高。

由於開孔樂器的指法還有更多變化性，這裡先討論銅管樂器。大部分銅管樂器使用7個不同的基音，由於是增加空氣柱長度、降低音高來達成，因此令完全不按鍵為 0，則基音音高為 -6 到 0。經由填補泛音列第二、三項 (12與19) 之間的縫隙，最低可以演奏出 12-6=6 的音，以及往上所有的半音。

以Trumpet為例，指法如下：

第一個活塞降低兩個半音，第二個活塞降低一個半音，第三個活塞降低三個半音。在上述的指法表中，有 6 到 36 的指法。而 -6 到 0 的音理論上可演奏，但與一般常用音域不連續，稱為 Pedal tones。

三、木管樂器基本指法

木管樂器從最基本的六孔到快二十孔都有，但原理皆相同。此樂器的調性的音階，在前兩個八度指法通常是是簡單的。且第二個八度的指法經常與第一個八度的指法相同，唯一差別可能是需要按下八度鍵，或是拇指音孔開半孔。

最簡單的木管樂器設計為六孔，是發出七聲音階的最低需求，最低音通常可以作為大調音階的Do，常見於世界各地傳統樂器，如：梆笛、篠笛、Tin whistle、Fife。這類樂器前兩個八度的指法相當直觀：

指法表中，第一個八度的指法與第二個八度的指法大致相同，都是依序放開手指。唯一例外是指法表中三個Do，隨著提升音高而多開了一些音孔，實際作用在下一個章節討論。

從全按到全放，分別比最低音還要高 0、2、4、5、7、9、11 個半音。而這些音分別都可以再加上其泛音列 0、12、19、24、28、31、34、36、38、40。兩個數列各選一個數字相加則是基本指法中所有用泛音可吹出的音。

因此木管樂器指法的基本原則，第一個八度為依序打開音孔，第二個八度為相同指法，但是使用的是泛音列中第二個音 (+12)，需要按下八度鍵、拇指開半孔、或是增加送氣的力道與速度。泛音列中第三個音 (+19) 以上雖然吹得出來，但是音色較差或是較難吹，需要進一步改變指法。

另外，幾乎所有管樂指法中，手指全放的音似乎天生都有音不準的問題，因此樂器的基本調性幾乎都會避免在音階中使用這個音，而讓這個音擔任音階中的升Do或是升Fa。

四、駐波與開孔

管樂可視為兩端開口的管子 (事實上不正確，但姑且當成如此，詳見第八章)。下圖分別為泛音列第一個音、第二個音、第三個音的駐波分布情形：

開管樂器的開口位置為頭尾，即為吹口與樂器末端。在上圖中，兩端的開口是空氣會震動的位置，顏色是白色。而在泛音列第二個音及之後的音，駐波位置也是白色，因此具有與兩端開口相同的性質。如果在白色波腹位置開孔，不會改變駐波的位置，而且可以避免其他駐波的發生。因此為了確保可以發出特定的泛音，較高音的指法會選擇在駐波上開孔來維持穩定性，也使得聲音較容易發出。

以L為空氣柱長度，基音的音高設為 0，開孔位置為可以產生目標音泛音的空氣柱。以剛才指法表中高兩個八度的 Do 為例：

目標音高為 24，如果 0、2、4、5、7、9、11 這幾個音可以加上泛音列 0、12、19、24、28、31、34、36、38、40 中的數字剛好等於 24，則這個空氣柱長度就是可以發出目標音高的空氣柱。

找到目標空氣柱之後，就保持這個空氣柱末端前的音孔關閉，空氣柱末端後的音孔開啟。如果是最後一個空氣柱，則後方的所有音孔都可以開啟，之前的其他音孔則皆預設為關閉。推算過程如下圖：

雖然 11+12=23 不完全等於 24，但是足夠接近駐波位置，因此開孔之後雖然稍微影響音高，但是會使得目標音容易發出許多，這是推算指法時做出的取捨。

再舉一個例子，若要吹出高兩個八度的 Mi，則目標音高為 28。以同樣的方式推算：

以上述方式推算，可以算出各個目標音高在「理想條件」下的指法。但由於這裡舉例的樂器只有六個音孔而不是半音階，因此有可能遇到駐波發生的位置沒有音孔可以開啟，這時候只能選擇在這個駐波上不開孔，才不會因為開了多餘的孔影響駐波位置，進而影響音高。

在接下來的章節，會開始討論叉指指法 (Cross/Fork fingering)，這是管樂指法開始變複雜的地方。

五、不影響泛音結構的附加空氣柱

有藍色標記的指法，與其右側的原指法相比，在跳過一個開放的音孔之後，接著又有幾個音孔是關閉的。如此一來就多出了一段附加的空氣柱，而這些有附加的空氣柱的指法都比原指法低了一個半音。由此可以推論，在第一個八度內，附加的空氣柱會使得發出的聲音變低，而關閉越多音孔會發出越低的聲音。 (第二個八度以上則不是如此，見下一章)

關閉的音孔如果跟原空氣柱隔得很遠，則通常不影響音高，例如長笛、簫，右手都有在大部分指法都維持關閉的音孔。這個音孔只有作為空氣柱最後一個音時，才會對音高產生影響。其他時候主要功能是為了保持樂器平衡，這個音孔不論是開啟或關閉，對音高影響都不大。

如果是像薩克斯風一樣有複雜機械構造的樂器，指法可能較為不直觀，因為按鍵與音孔之間可能有連動。例如吹奏Si時，右手三指都可以讓音高變成降Si，因為即使這些按鍵與音孔離得很遠，也會帶動降Si音孔關閉。

再回到直笛指法，第二個八度之後的指法都會需要左手大拇指開半孔。然而隨著音高的改變，空氣柱變短了，大拇指開半孔的位置卻沒辦法跟著改變，無法像前面討論的在波腹上開孔。一個解釋是，這個開半孔的縫隙由於夠小，雖然可以達到產生泛音的目的，卻不會因為不是開在波腹上而影響駐波位置。因此，在空氣柱上開一小孔主要有保證這段空氣柱內至少要有泛音，而這一小孔的位置主要影響吹出泛音的難易度，離正確的波腹越接近則越容易。

有八度鍵的樂器大部分會在樂器上開一個小孔，而為了讓不同音域的泛音更容易吹出，雙簧管有多個八度鍵，薩克斯風的八度鍵所開的孔會隨著音高改變。

六、影響泛音結構的附加空氣柱

再回到直笛的指法，前一章說附加的空氣柱會使得發出的聲音變低，但是第二個八度的指法，卻完全推翻了這個假設：

仔細觀察紅色部分的指法會發現，最奇怪的地方是多按了三個音孔的指法反而比原指法高了一個半音。

在六孔管樂器也有此現象，從完全不按開始，並且以第二個八度的力道吹奏，會得到 23 的音高。如果依序關閉第 2、3、4、5、6 孔，則依序會得到22、24、23、22、24。也與直笛的情況類似，得到的音高不一定看得出規律。

用空氣柱與泛音來想，可以先考慮不開孔的連續空氣柱，如此一來則可以用第四章的方法分析。因為這時吹奏的力道是吹出 23 的音高，因此空氣柱會想要發出最接近 23 的泛音。接著幫每個音孔的基音找出相加之後最接近 23 的泛音，結果如下圖左側：

因為物理限制，實際上吹奏力道不足就無法吹出更高音，但是低音則沒問題，因此這裡雖然要找最接近 23 的泛音，但是最高也只能往上找到 24 左右，超過則只能往下找。

如此一來與上圖右側對照可以發現，開了第1孔的指法，與不開孔指法發出的泛音雖然不同，但是變化的趨勢是相同的。唯一的差別是，變化的幅度比連續的空氣柱還要小。由此可以推論，附加的空氣柱會以泛音影響原指法，但是對原指法的影響不完全。

在第四章討論的，在駐波波腹上開孔的泛音指法，其實也可以用附加空氣柱的方式思考。這些推算出的指法，其空氣柱被打開的音孔分割成多個空氣柱，因此第二個以後的空氣柱都可以視為附加空氣柱。之所以這些附加空氣柱不會影響音高，是因為這些空氣柱剛好可以發出與目標音相同的泛音。因此這些附加空氣柱無論加或不加，對音高的影響理論上很小，主要加上這些空氣柱的原因是可以增加發音的穩定度。

再回到上圖，注意左側與右側指法中的 24，雖然第一孔打開之後變高一個半音，與原空氣柱的泛音一樣是 24。但是如同之前所說的，打開第一孔所吹出的兩個 24 其實偏低。這時如果要吹出正確的音高，則可以考慮開半孔或是改變送氣強度/角度等等不影響泛音結構的調整。

附加的空氣柱如果中間隔著越多開放的音孔，對音高的影響則越小。在第四章推算的高兩個八度的 Mi 指法中，實際上吹出的音偏高，因此需要指法上的調整。由於泛音列中第五個音天生低了14音分，而這是第 6 孔關閉所產生的空氣柱，因此如果讓這個偏低的音影響變大，則可以調整使音高變低。因此，把第五孔關閉，第 6 孔關閉所產生的空氣柱之前就只剩一個開放的音孔而非兩個，此偏低的泛音影響變大，就可以矯正吹出的音偏高的問題。如：●○●●○● → ●○●●●●

上述在找最接近 23 的泛音時，使用了 12、19、24 這三個不同的泛音，分別是泛音列中第 2、3、4 個音，在圖片右下用圈起來的數字表示。這個數字的重要性在於，如果是同數字的指法，之間的音就是連續的，可以使用滑音(Glissando)，震音(Trill)時聽起來是連續的。反之，如果是不同數字的指法，之間的音就是不連續的。例如，使用關 2 到 3 孔以及關 2 到 6 孔的音高為 24 的指法，則可以利用泛音數量改變達到同音顫音(Tremolo)的效果。

七、理論與實際應用

如果直接測量管樂器的管長，然後嘗試從音孔之間的距離推算音高的話，會發現理論與實際對不上。雖然理論上空氣柱末端的空氣視為振幅最大、空氣壓力與大氣壓力相等，但是事實上空氣柱到了末端之後還會延長一小段。經驗公式約為 0.6 倍的管長，稱為 End correction [5]。

除了 End correction 之外，推算出的指法到了第三個八度之後，會有明顯的偏高現象。例如用之前的方法推算高二個八度的升Fa：

理論上目標音高為 30 的指法，實際吹奏出來是 31 的音高。事實上不只是這個指法，之後的所有高音指法也都偏高至少一個半音。因此，在推算指法的時候，一定要實際吹奏並確認音準與音高，如果要調整音準，可以微調指法改變各個空氣柱的長度。

至於理論指法推算的極限，只要吹得出來，用甚麼指法都可以。但是一開始提到的泛音列，在四個八度之後，每個泛音的間隔剩下不到一個半音，也就是說駐波波腹之間的距離已經小於一個音孔的距離。這時再去推算有開孔的指法可能意義不大。即使真的吹得出來，用最靠近吹口的連續空氣柱可能就有一樣的功用。

另一個理論音高極限，是發音源的震動頻率，例如簧片或嘴唇 (*待確認)。以薩克斯風為例，簧片的自然震動頻率附近的超高音很好吹出，即「吹破音」，但是要吹出更高音則幾乎完全仰賴加壓簧片的力量。

指法選擇方面，要看需求是甚麼。如果是一般吹奏，則考慮找指法最簡單好按、音準最好、穩定度最高、音色最佳。在快速音群中，可以找指法與前後鄰音相近、發音容易者。如果要震音(Trill)，可以找兩個音差異只有單手同開同按的指法。如果要滑音，要選擇相同泛音數的指法。因此，一個音可能需要記憶數種不同的按法。

八、閉管樂器

建立在文章目前為止的基礎，應該可以理解大部分管樂的指法與其原因，唯獨單簧管的指法完全超出此理論範圍：

首先找規律，先找低音區指法簡單的一個音作參考，例如單簧管的 C 的指法是左手三指+大拇指全按、右手全放。再來看高一個八度的 C 的指法，會意外地發現完全不同。而下一個同樣是左手三指全按、右手全放的音是高一個八度的 G。

從 C 到高一個八度的 G，頻率是 3 倍。這是一個出現奇數頻率的管樂，代表單簧管是一種閉管樂器。閉管樂器的例子相當少，除了單簧管之外，唯一常見的例子可能只有排笛。另外由於閉管樂器的基音波長為 4 倍管長，為開管樂器的 2 倍管長的兩倍，因此使用同樣的管長，閉管樂器可以發出低一個八度的音，並且泛音也只有奇數，因此指法推算的極限會比擁有全部泛音的開管樂器高約一個八度。這也使得單簧管成為音域最廣的管樂器，極限約四個八度，遠超其他管樂器的約三個八度。

另外一個閉管樂器的例子是國樂一個少見的雙簧樂器，管子，泛音倍數不是一般的 2 倍，但是似乎也不是理論上完美的 3 倍：

在這裡出現一件弔詭的事，既然單簧管是閉管樂器，那麼理論上所有簧片樂器、尤其是同為單簧的薩克斯風，應該也要是閉管樂器。然而事實並不是如此，雙簧管、巴松管、薩克斯風都可以發出八度的泛音。

一個解釋是，單簧管的管身接近完美的圓柱，但其他我們認知中泛音結構像開管樂器的簧片樂器，其實是圓錐形的閉管樂器 (Closed cone)，例如雙簧管與薩克斯風。由於閉管錐形與閉管有相似但不同的波形，因此可以發出閉管發不出的偶數倍頻率。

上圖紅線為壓力變化，在開口端的壓力變化為 0，封閉端的壓力變化為最大。開管的基音的波長為 2 倍管長，閉管的基音的波長為 4 倍管長。閉管圓錐的基音的波長為 4倍管長，但是閉管圓錐在出現泛音之後的波長有所變化，使其雖然屬於閉管樂器，卻有類似開管樂器的泛音結構。

因此不論是單簧或是雙簧，都是閉管樂器，而決定泛音結構的是管身的形狀。管身接近圓柱的樂器如單簧的單簧管，或是雙簧的管子，都保有閉管樂器的性質。

若嘗試用函數畫出波形，開管是 sin(x)，則閉管是 cos(x/2)，而閉管圓錐是 sin(x)/x。分母的 x 來自於圓錐逐漸變寬的半徑，此函數在接近 x=0 處與閉管的 cos(x/2) 同樣趨近於 1，而 x>1 的範圍性質與開管的 sin(x) 幾乎相同。至於這些函數如何推算得出，則需要解 Wave equation，且可能用到 Bessel functions 等特殊函數。